Anticipative calculus with respect to filtered Poisson processes

L. Decreusefond (1) , Nicolas Savy (2)

1 LTCI - Laboratoire Traitement et Communication de l'Information
2 IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse UMR5219

We construct the basis of a stochastic calculus for a new class of processes: filtered Poisson processes. These processes are defined by an fBm-like stochastic integral but a Poisson process is subsided to the Brownian motion. We use Malliavin calculus to first construct a gradient then a divergence operator, which will play the role of an anticipative stochastic integral. We study into details the sample-paths regularity of this integral and give an Itô formula for Itô-like processes.  2005 Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé Les processus de Poisson filtrés sont définis par une intégrale stochastique d'un noyau déterministe relativement à un processus de Poisson. Ils sont au processus de Poisson ce que le mouvement brownien fractionnaire est au mouvement brownien ordinaire. Nous construisons pour ces processus les bases du calcul anticipatif. Ce travail similaire à celui d'Oksendal et ses collaborateurs sur les processus de sauts de Lévy, emprunte une autre approche que celle du calcul de Hida. Nous introduisons l'opérateur gradient sans utiliser la décomposition en chaos puis nous définissons son adjoint, ce qui nous permet de construire une notion d'intégrale anticipante. Les propriétés de régularité trajectorielle de cette intégrale sont précisées. Nous terminons notre travail par une formule d'Itô pour ces processus.  2005 Elsevier SAS. All rights reserved.

Domaines: Probabilités [math.PR]

L. Decreusefond, Nicolas Savy. Anticipative calculus with respect to filtered Poisson processes. Annales de l'Institut Henri Poincaré (B) Probabilités et Statistiques, 2006, 42 (3), pp.343 - 372. ⟨10.1016/j.anihpb.2005.03.005⟩. ⟨hal-01864331⟩