Estimation of risk measures for conditioned elliptical distributions
Estimation de mesures de risque pour des distributions elliptiques conditionnées
Résumé
This PhD thesis focuses on the estimation of some risk measures for a real random variable Y with a multivariate covariate vector X. For that purpose, we will consider that the random vector (X;Y) is elliptically distributed. In a first time, we deal with the quantiles of Y given X = x. We thus firstly investigate a quantile regression model, widespread in the litterature, for which we get theoretical results. Indeed, such a model has some limitations, especially when the quantile level is said to be extreme. Therefore, we propose another more suited approach. Asymptotic results are given, illustrated by a simulation study and a real data example. In a second chapter, we focus on another risk measure called expectile. The structure of the chapter is essentially the same as the previous one. Indeed, we first use a regression model that is not adapted to extreme expectiles, for which a methodological and statistical approach is proposed. Furthermore, highlighting the link between extreme quantiles and expectiles, we realize that other extreme risk measures are closely related to extreme quantiles. We will focus on two families called Lp-quantiles and Haezendonck-Goovaerts risk measures, for which we propose extreme estimators. A simulation study is also provided. Finally, the last chapter is devoted to the case where the size of the covariate vector X is large. By noticing that our previous estimators perform poorly in this case, we rely on some high dimensional estimation methods to propose other estimators. A simulation study gives a visual overview of their performances.
Cette thèse s'intéresse à l'estimation de certaines mesures de risque d'une variable aléatoire réelle Y en présence d'une covariable multivariée X. Pour cela, on va considérer que le vecteur (X;Y) suit une loi elliptique. Ce modèle est adapté par exemple à la prédiction d'un champ elliptique étant données des observations de ce dernier. Dans un premier temps, on va s'intéresser aux quantiles de Y sachant X = x. On va alors tester d'abord un modèle de régression quantile assez répandu dans la littérature, pour lequel on obtient des résultats théoriques que l'on discutera. Face aux limites d'un tel modèle, en particulier pour des niveaux de quantile dits extrêmes, on proposera une nouvelle approche plus adaptée. Des résultats asymptotiques sont donnés, appuyés par une étude numérique puis par un exemple sur des données réelles. Dans un second chapitre, on s'intéressera à une autre mesure de risque appelée expectile. La structure du chapitre est sensiblement la même que celle du précédent, à savoir le test d'un modèle de régression inadapté aux expectiles extrêmes, pour lesquels on propose une approche méthodologique puis statistique. De plus, en mettant en évidence le lien entre les quantiles et expectiles extrêmes, on s'aperçoit que d'autres mesures de risque extrêmes sont étroitement liées aux quantiles extrêmes. On se concentrera sur deux familles appelées Lp-quantiles et mesures d'Haezendonck-Goovaerts, pour lesquelles on propose des estimateurs extrêmes. Une étude numérique est également fournie. Enfin, le dernier chapitre propose quelques pistes pour traiter le cas où la taille de la covariable X est grande. En constatant que nos estimateurs définis précédemment étaient moins performants dans ce cas, on s'inspire alors de quelques méthodes d'estimation en grande dimension pour proposer d'autres estimateurs. Une étude numérique permet d'avoir un apercu de leurs performances.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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